终于还是有人问了，邓煜王虹的获奖研究到底有什么用？

中国数学家获得菲尔兹奖的新闻刷屏了。在热闹的祝贺声中，也会有人好奇：邓煜研究的狭义希尔伯特第六问题和王虹研究的三维挂谷猜想，有什么用？ 菲尔兹奖获得者中国数学家邓煜（左一）、王虹（右一）、美国数学家约翰·帕登（左二）和加拿大数学家雅各布·齐默曼在美国费城举行的2026年国际数学家大会开幕式上合影丨新华社/李睿 数学研究不是买菜时的找零，也不止是造火箭时的计算。如果一定要问它是什么，更贴切的答案或许是：纯数学首先不是一种工具，而是一种语言，一种用来描述结构、关系，以及人类此前从未见过之物的语言。 后来的数学家并不满足于此，他们很自然地追问：面积是0，那具体是什么样的呢？毕竟点的面积是0，线的面积也是0。为了方便区别，他们创造了“维度”的概念：点是0、线是1、面是2。 1971年，罗伊·戴维斯证明了平面上的贝西科维奇集合的Hausdorff维数和Minkowski维数都是2，这个集合的面积虽然为0，但在维数意义上却占满了整个平面。 数学家们继续追问：平面上是这样的，那三维空间、甚至更高维的n维欧几里得空间里，包含所有方向的单位向量的集合，Hausdorff维数和Minkowski维数是否都是n？ 100多年前挂谷宗一描述的那根针已经消失了。一个非常具体形象的问题，在被不断追问细枝末节的过程中，抽象到了普通人难以理解的程度。 王虹的研究拿到菲尔兹奖，说明这个抽象的研究在数学家眼里是很重要的，所有的媒体也尝试强调它十分重要——但到底有多重要、有什么用，似乎没人能真正说清楚。 它似乎关联着一系列其他数学问题的成立性，但绝大多数人对这些问题也一无所知。有人试图告诉你，挂谷问题和傅里叶分析偏微分方程都有关，例如它制约了傅里叶变换的误差——但在没有证明这个问题之前，工程师们也一直在使用傅里叶变换。 在经历以上一堆难以理解的名词轰炸后，你可能忍不住想问：这些跨度漫长、越来越艰涩的追问是为了什么？这些数学研究，只是数学家的头脑游戏吗？ 很多时候，数学家提出一个问题时并没有打算让它解决现实问题。他们更关心的是“它是否存在”“能不能证明”“与已有理论之间是什么关系”。 数学研究和“学以致用”这种思想是截然不同的工作方式：它不是先寻找用途，再发展理论；而是先理解结构，再等待用途自己出现。 从历史的角度来看，有些看似天书的数学问题被解决很久很久以后，可能会以一种提出者本人都想不到的方式重新出现。 1832年，20岁的法国数学家伽罗瓦死于一场著名的决斗。他生前留下一篇论文，试图回答一个看起来很具体的问题：为什么五次及以上的方程不存在一般的求根公式？ 在回答这个问题的过程中，他奠定了群论和伽罗瓦理论的基础，也开启了一系列代数结构的研究。以他的名字命名的“伽罗瓦域（也叫“有限域”）”就是其中之一，一种只包含有限个元素、但对加减乘除都有定义的代数结构。 例如一个只有0~6七个元素的有限域GF(7)，2加上6并不会等于8，而是等于1，因为8不在这个集合里，所以应该让原先的运算结果对7取模，让结果落回0~6之间。 取模实质上重新定义了四则运算，使它们在有限个元素中封闭。在有限域的运算中，不会出现小数或者分数，每次四则运算的结果都会落回这有限个元素的集合中。 伽罗华的这套理论，在之后被发展成一门叫做抽象代数或近世代数的数学学科分支。对于很多数学系学生来说，这是学习中遇到的第一个拦路虎。在此后200年里，它在数学学科内部影响深远，和许多领域发生交互并得以发展。 20世纪60年代，数字通信技术开始兴起。一个核心的通信工程问题亟待解决：信号在传输过程中可能会丢失或被污染，接收方拿到的数据存在错误和缺失，要怎么才能恢复原始的信息呢？ 数字通信的基本单位是字节，1个字节是8位的二进制数，从0到255，共256个。只要构造一个包含256个元素的伽罗瓦域，在这个域中做四则运算，结果永远还是落在0到255中——对信号传输来说，伽罗瓦域能提供纠错和数据恢复所必要的精确性。 但实际里德和索罗门用的是包含256个元素的有限域，而256不是素数。你不能对256取模来构造有限域，因为例如2×128=256，对256取模等于0，两个不是零的数相乘得出了零，这样除法就失效了。 要构造一个恰好有256个元素，加减乘除都能运行的域，单纯取模是不行的，需要伽罗瓦的域扩张理论：从GF(2)出发，这是一个只有0和1的小域，然后构建一个8次不可约多项式，通过多项式的运算来重新定义新的加减乘除，将它扩展成一个包含256个元素的更大的域。 不仅域本身需要扩张，连四则运算也需要重新定义，这种数学技巧正是数学系学生们头疼的难关之一，也是抽象代数在现实中最广泛的应用之一。 2个点能确定一条直线，它的多项式表达是一次的；3个点能确定一条抛物线，这是二次多项式；用k个点，我们可以确定唯一的一个k-1次多项式。 然后，我们不只传这k个数据，而是先利用这个多项式多算一些点的值，比如算出n个点，一起传过去。n比k大，多出来的那些点就是冗余。 如果传输出了问题，n个值中的几个可能被噪声改掉或者干脆丢失，冗余的价值就发挥出来了：一个k-1项式只需要k个点就能确定，多出来的点提供了交叉验证的能力；被改掉的那些值，不会落在原来那条抛物线上，它们会和其他正确的值产生矛盾从而暴露自己；只要出错的数不超过冗余量的一半，原始数据就能被完整恢复。 我们仍然用之前的那个只有0~6七个元素的有限域GF(7)来举个例子。假如你要传递的信息是3和5两个数字，那么我们把它们作为系数，构建出一个一次多项式p(x)=3x+5，然后把x=0,1,2,3这四个数代入，在有限域上获得4个值。 先看数据丢失的情况，传输中第三个值丢失了，接收方收到[5, 1, ?, 0]，并且知道丢的是第三个位置。一次多项式只需要两个点就能确定，还剩三个点，足够了，取点(0,5)和(1,1)，斜率算出来是-4，也就是3，就能还原出p(x)=3x+5，代入x=2，p(2)=11mod7=4，缺失的值就能找回来了。 接下来看篡改，接收方收到的数据被改成了[5,1,2,0]。这样就需要从四个点里任取两个点来拟合一条直线，看哪条直线和最多的点一致。 当然，实际的算法并不是这样逐步尝试，接收方会通过接收到的数据计算一组叫做伴随式的值，然后用伴随式构造一个错误定位多项式，在有限域上求它的根，每个根能直接指向一个出错的位置，找到之后错误的值就能直接算出并进行修正。 如今我们更熟悉的二维码，就算被遮挡或有污点仍能被正常识别，拥有最高纠错等级的二维码甚至允许30%的面积被遮挡或修改，这里面同样应用到了Reed-Solomon码。 从遥远太阳系边缘传回的图像，到路边小贩熟练使用的二维码，它们的纠错能力都来自于伽罗瓦域这个200年前并不为应用而诞生的、抽象的代数结构。 1781年，法国数学家蒙日基于军事工程和建筑中的土方调配优化，思考如何将一堆土最省力地搬去填坑。经过200年的追问演变，这个问题变成了衡量两个概率分布之间差异的Wasserstein距离，如今被用于训练AI； 20世纪70年代，数学家米尔曼（Milman）研究无穷维banach空间的几何结构时发现的高维随机投影性质，30年后经过陶哲轩等数学家的努力，变成了压缩感知理论的基础，它让医院的核磁共振扫描时间从将近1个小时，缩短成了十几分钟； 当你此刻拿着手机阅读这篇文章时，手机建立网络连接所使用的加密算法的核心，来源于19世纪数学家们研究的椭圆曲线离散对数问题。 上面讲的故事似乎存在一个共同的模式：数学研究往往从一个具体的问题出发，比如一根针扫过的面积、一个五次方程的解、土堆要怎么运输；然后在研究的过程中，问题本身发生变化，具体的概念逐渐脱离、新的抽象的结构逐渐被归纳；在对抽象化概念不断追问的过程中，又诞生了其他的结论。 但正因为抽象，这些难以理解的结构反而获得了原来叙述具体问题时不具备的能力：它能描述完全不同的、可能人所未见的事物。 这就是基础数学和应用之间真正美妙的关系：数学在不断求索的过程中，会把问题抽象到只剩结构和关联，而同一个抽象的结构可以适用于完全不同的事物，从而获得新的可能性。 至于研究成果在当下、甚至在数学家的有生之年能派上什么具体的用场？伽罗瓦不可能预见到二维码的应用，蒙日也完全不懂AI，但是伽罗瓦域就是伽罗瓦域、Wasserstein距离就是Wasserstein距离，可能几百年后会被后人巧妙地用到技术中，但研究成果经思想而诞生，其过程并不需要预先知道它未来会被用在哪里。 回到菲尔兹奖。作为数学界最高荣誉之一，菲尔兹奖奖励的从来不是一项已经改变世界的技术或产生经济价值的成果，而是让数学本身向前推进了一步的工作。今天我们不知道邓煜和王虹的研究有什么具体的用处，但我们知道新的数学结构能不断成为后来科学和技术工作的起点，本身就已经具有价值。

📕作者： 张云撰 · 更新于 2026-08-11 03:10:52

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📸 记者 荆正宇 摄 · 更新于 2026-08-11 03:10:52