Claude挑战黎曼猜想失败，却刷新了沉寂数十年的数学下界

Anthropic 未发布科研版 Claude 将相关零点下界从 41.6% 推进至 67.2%，AI 开始进入真正的开放数学研究，资料依据：Anthropic 官方研究文章《Learning more about Claude's mathematical capabilities》及论文《More Than Two Thirds of the Zeros of the Riemann Zeta Function Lie on the Critical Line》编译而成，头图来自：AI生成 过去两年，AI 在数学上的进步大多通过竞赛成绩和基准测试被外界感知：能不能拿下 IMO 题目，能不能在形式化证明系统里补完一道已有答案的定理，或者推理模型能不能把更长的证明链条走完。 Anthropic 在 8 月 10 日公布的这项工作，价值恰恰在于它跨出了这套评价体系。公司让一款尚未发布的科研版 Claude 去"认真尝试"黎曼猜想——一个自 1859 年提出以来仍未解决的数学难题。 Claude 最终没有证明黎曼猜想，但在探索过程中意外推进了一个相关问题：把能够无条件证明位于临界线上的黎曼 zeta 函数零点比例下界，从长期保持的 41.6% 提升到 67.2%（更精确地说，论文的优化常数为 0.6725，也就是 67.25%）。 这不是"黎曼猜想已经完成了 67.2%"，更不是离最终证明只差 32.8%。Anthropic 与论文都明确强调，这一结果对黎曼猜想本身"没有任何方向上的决定性含义"：它只给出一个更强的下界，证明至少这么多零点位于临界线上，而对剩余零点并没有作出判断。 真正值得关注的，是这次结果如何产生——Claude 没有在一个答案已知的题目上搜索最优路径，而是在一个答案未知、路线未知、研究空间开放的问题里，经历大量失败、读取前人文献、重新组合既有方法、做数值检验、组织多个子 Agent 互审，最后得到一个此前没有被建立的结果。 理解这次结果，首先要把"黎曼猜想"和"零点比例下界"区分开。黎曼 zeta 函数与素数分布有深刻联系，黎曼猜想断言，所有关键的非平凡零点都落在复平面上的临界线 Re(s)=1/2 上。这个猜想至今既没有被证明，也没有被推翻。 数学家因此长期推进一个较弱但可严格研究的问题：既然暂时无法证明所有零点都在临界线上，那么至少能证明多大比例的零点在这条线上？1914 年，Hardy 首先证明临界线上有无穷多个零点；1942 年，Selberg 证明有正比例零点位于临界线；1974 年，Levinson 把比例推进到 1/3；1989 年，Conrey 将其推进到超过 2/5。经过后续多代数学家的改进，到 2020 年，这一无条件下界达到 5/12，也就是约 41.66%，并停留至今。 Claude 的论文给出的核心结论，是无条件证明至少 2/3 的零点位于临界线上，同时至少 2/3 的零点既简单又位于临界线上；对于不同零点的比例，论文给出至少 5/6。进一步优化测试函数后，三个常数分别可以提升到 0.6725、0.6725 和 0.83625。Anthropic 对外采用了更易理解的表述：下界从 41.6% 提升至 67.2%。 这个提升之所以显眼，不只是数字跨度大，更因为它绕开了此前主流的 Levinson 方法。论文明确写道，它给出的是一条不同的路线：把 Montgomery 在 1973 年研究零点对相关时建立的思想，在不假设黎曼猜想成立的前提下重新实现。 Claude 的突破并不是凭空创造一套此前不存在的数论体系。Anthropic 官方说明得很克制：新结果"大量借鉴"了过去几十年数学家的研究，尤其是 Baluyot、Goldston、Suriajaya、Turnage-Butterbaugh 对 Montgomery 方法的无条件化工作，以及 Bombieri 在 2000 年关于 Weil 厄米型的研究。 关键障碍在于，Montgomery 的经典论证在黎曼猜想成立时可以把零点侧理解成一个具有良好正性的结构，但一旦允许零点偏离临界线，这种逐项正性就会失效。Claude 做的事情，是不再试图把线上零点和线外零点逐项拆开处理，而是把它们放进一个有限维的 Weil 厄米型压缩中：临界线上的零点贡献非负的秩一结构，偏离临界线的共轭配对则形成 signature 为 (1,1) 的不定块。然后通过 Sylvester 惯性定律、Hermitian 矩阵的秩-迹不等式，以及一阶、二阶矩信息，直接控制临界线上零点所能贡献的秩。 Anthropic 在技术说明中用了一个很少见于公司研究稿的词来描述关键一步：courage。真正的突破不是又算出了一个复杂的矩，而是敢于把正定与不定结构放在同一个整体里处理，并允许矩阵出现非对角项。用更接近商业科技报道的语言说，这次创新更像是"发现过去被分散在不同论文里的工具其实可以组合"，而不是从零制造一门新数学。 这恰恰是这件事最值得关注的地方。科学研究中的大量前沿问题，并不总是缺少知识，而是知识分散在不同论文、不同年代、不同研究传统里。人类研究者受时间、阅读规模和专业边界限制，很难穷尽所有可能组合；大模型如果能在海量文献之间持续搜索并尝试新的连接，首先可能改变的不是"天才式原创"，而是科研搜索空间的规模。 Anthropic 披露的研究流程，比最终的 67.2% 更能解释为什么这件事会引发关注。任务由 Anthropic 员工 Jarred Sumner 发起，他本人并不是数学家。他给未发布的科研版 Claude 的要求很简单：对黎曼猜想"take a real stab"，真正认真试一次，后续数学路线基本由模型自行决定。 第一轮，Claude 生成并尝试了 650 个想法，没有一个成功。Sumner 随后让它继续。第二轮持续约一天半，Claude 协调了大约 60 个子 Agent 深入探索，总计执行约 2400 条 Shell 命令、编写数百个 Python 脚本，并对已知 zeta 零点进行了数千次数值检查。两次会话合计消耗 3100 万个输出 token。 这 60 个子 Agent 并非简单并行。Anthropic 在脚注中给出了角色分工：2 个 Agent 负责发展关键数学思路，13 个为它们提供思路，30 个尝试发展新方向但没有成功，13 个作为验证者检查论证正确性，最后 2 个帮助撰写初稿。换言之，系统内部已经出现了类似科研团队的角色分化：提出假设、扩展路线、失败探索、同行评议和写作并不是一个模型在单线完成。 在找到结果之后，Claude 没有立即把它当成新定理发布。它让不同子 Agent 重新审查证明、主动寻找反例，从 arXiv 下载 54 篇相关论文检查结果是否早已存在，并尝试从头独立重证；随后，它主动提出将结果写成论文，并建议找人类数论专家验证。 这一流程与传统"聊天机器人答题"的差别非常大。开放科研真正昂贵的部分，往往不是某一次推导，而是长时间搜索错误路线、回看文献、排除重复结果、反复验证以及协调不同研究思路。Claude 这次展示出的能力，正好覆盖了其中一部分。 Anthropic 对验证环节的表述同样值得保留原文的克制。公司内部两位数学家 Levent Alpöge 和 Ralph Furman 对 Claude 的工作进行了研究和验证，并把结果放回既有文献脉络；Claude 还与 Anthropic 员工 Eric Easley 合作生成了 Lean 形式化版本，该版本通过了 comparator 验证工具。Anthropic 另外邀请 Brian Conrey 和 Dan Goldston 两位该领域专家在短时间内审阅论文。 但这些步骤并不等于传统意义上的完整同行评议。论文自己也承认，这种作者身份和结果强度都"自然会引发怀疑"，并明确欢迎外界指出错误。更重要的是，论文用了专门一节说明"这些结果不是什么"：它只建立下界，对剩余约三分之一的零点没有任何结论；这些零点不是被证明位于临界线之外，而只是当前证明工具无法覆盖。 论文还给出了方法本身的上限。若只使用当前宽度为 1 的 pair-correlation 信息和这套线性代数证书，理论上可证明的简单零点比例存在大约 0.68185 的天花板。论文估计，如果想把同一路线推进到 70%、80%或90%，分别需要将 pair-correlation 的 Fourier 支撑扩展到大约 1.04、1.26 和 1.70，而这超出了现有已知结果。也就是说，67.2% 并不是通往 100% 的一条可线性外推路线。 这也是判断这件事是否"重大"的关键尺度：数学上，它是一个需要继续接受共同体检验的新结果；AI 研究上，它的重要性却更确定一些，因为它展示了模型在开放问题里进行长程探索、组织多代理协作、重新组合文献以及自我验证的能力。 过去的 AI 数学进步，核心衡量标准是"已知答案的问题能不能解"。即便 IMO 题目再难，答案毕竟存在，题目本身也经过人为设计。开放数学研究没有这样的边界：答案未知，正确路线未知，甚至"有没有一条值得继续的路线"本身就是问题。Anthropic 在官方文章里把这次结果称为一个"意外副产品"——Claude 原本被要求尝试黎曼猜想，却在过程中发现了另一个可推进的问题。 这意味着 AI 科研的产品形态可能发生变化。第一阶段的科研 AI 是工具：检索论文、写代码、做符号计算、帮助形式化证明；第二阶段更像 Agent：它不仅执行单一任务，而是持续追踪研究目标，分派子任务、并行试错、回到文献寻找证据，再根据失败结果调整方向。Claude 这次实验，至少展示了第二种形态的一部分。 从产业角度看，这比"AI 又拿了一个 benchmark 高分"更值得关注。模型公司的竞争正在从通用聊天能力转向高价值专业工作流。科研是其中最难、也最具溢价的一类场景：药物发现、材料科学、数学、密码学、工程设计都有一个共同特征——真正有价值的产出不是复述已有知识，而是降低探索未知空间的成本。Anthropic 如果能够把这种长程、多 Agent、可验证的研究能力做成稳定产品，它面对的就不再只是办公软件市场，而是研发预算本身。 这次实验同时也提示了一条更现实的商业路线：AI 未必需要先成为"独立科学家"才有价值。只要它能把人类研究者过去因为时间有限而无法穷举的假设大规模并行试验，把跨几十年的文献组合得更快，把验证和反例搜索自动化，就已经可能显著提高科研单位时间内的探索密度。其商业价值来自降低研究的边际搜索成本，而不是复制一位天才。 最准确的表述不是"Claude 攻克黎曼猜想"，也不是"AI 完成了 67.2% 的黎曼猜想"。前者错误，后者同样错误。更接近事实的说法是：Claude 在挑战黎曼猜想时，利用一条不同于 Levinson 方法的路线，把一个长期研究的相关下界从约 41.6% 推进到 67.2%，并形成了论文、形式化证明和多轮机器与人类验证。 这项结果最终能否经受更广泛数学共同体的检验，还需要时间。但它已经提供了一个非常清晰的产业信号：模型能力的下一阶段，不只是更长上下文、更高推理分数或者更低 token 价格，而是模型能否在目标不确定、路线开放、失败频繁的环境里持续工作。 过去，人们讨论"AI 科学家"时，往往想象一个模型突然提出爱因斯坦式的新理论。真正的变化也许没有那么戏剧化。它可能先从科研流程里最耗费时间的部分开始：几十个 Agent 同时读论文、跑实验、推导、找反例、互相审稿，人类研究者负责选择问题、识别真正重要的方向，并承担最终判断。 Claude 这次没有越过那座 167 年无人翻越的山，但它证明了一件更具体的事：AI 已经不只是站在山脚下解释前人的地图，它开始自己走进无人区，试错，并带回新的路线。 Anthropic 官方研究文章：Learning more about Claude's mathematical capabilities，发布于 2026 年 8 月 10 日。Claude 署名论文：More Than Two Thirds of the Zeros of the Riemann Zeta Function Lie on the Critical Line，日期为 2026 年 8 月 10 日。本文采用"41.6%→67.2%"作为面向普通读者的概括；论文中更精确的优化常数是 0.6725。"67.2%"只表示当前可无条件证明位于临界线上的零点比例下界，并不表示黎曼猜想完成度。论文明确指出，该结果对黎曼猜想本身在正反两个方向都没有决定性含义。